Question

（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：
探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+

1

2

∠A（不要求证明）．
探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．
探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论：

∠BOC=90°-

1

2

∠A

．

Answer 1

分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=

1

2

∠A，
理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠A+∠1，
∵∠2是△BOC的一外角，
∴∠BOC=∠2-∠1=

1

2

∠A+∠1-∠1=

1

2

∠A；

（2）探究3：∠OBC=

1

2

（∠A+∠ACB），∠OCB=

1

2

（∠A+∠ABC），
∠BOC=180°-∠0BC-∠OCB，
=180°-

1

2

（∠A+∠ACB）-

1

2

（∠A+∠ABC），
=180°-

1

2

∠A-

1

2

（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BOC=90°-

1

2

∠A．

点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．