Question

（2012•陵县二模）有一个Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，将它放在直角坐标系中，使斜边AB在X轴上，直角顶点C在反比例函数y=

2 3

x

第一象限内的图象上，则点B的坐标为

（-1，0）或（5，0）

．

Answer 1

分析：由Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，则可求得BC与AB的长，又由三角形面积公式，可求得斜边AB上的高CD的长，然后由直角顶点C在反比例函数y=

2 3

x

第一象限内的图象上，即可求得点C的坐标，然后分别从当A在B的右侧与当A在B的左侧时去分析求解，即可求得答案．

解答：解：∵Rt△ABC，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，
∴∠ABC=30°，
∴AB=2AC=4，
∴BC=

AB2-AC2

=2

3

，
过点C作CD⊥AB于D，
∵S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
∴CD=

AC•BC

AB

=

2×2 3

4

=

3

，
∴在Rt△BCD中，BD=

CD

tan∠ABC

=

3

3 3

=3，
∵直角顶点C在反比例函数y=

2 3

x

第一象限内的图象上，
∴点C的纵坐标为

3

，
∴x=

2 3

y

=

2 3

3

=2，
∴点C的坐标为：（2，

3

），
如图1，当A在B的右侧时，OB=BD-OD=3-2=1，
∴点B的坐标为：（-1，0）；
如图2，当点A在点B左侧时，OB=OD+BD=2+3=5，
∴点B的坐标为：（5，0）；
综上，点B的坐标为：（-1，0）或（5，0）．
故答案为：（-1，0）或（5，0）．

点评：主要考查反比例函数的图象和性质、三角函数的定义、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．