Question

【题目】如图所示，是等腰直角三角形，其中，是边上的一点，连接，过作交于，，且，连接并延长，交于点．若四边形的面积为，则的面积为__________．

Answer 1

【答案】8

【解析】

连接EC，过点B作BH⊥BE交FM的延长线于点H，由“SAS”可证△BAE≌△CAF，可得BE=CF，∠AEB=∠AFC=90°，S△ABE=S△ACF，通过证明△BMH≌△CMF，可得BM=CM，由中线的性质可得S△BME=S△MCE，即可求解．

解：如图，连接EC，过点B作BH⊥BE交FM的延长线于点H，

∵AF⊥AE，AF=AE

∴∠EAF=90°，∠AEF=∠AFE=45°，

∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠EAF，

∴∠BAE=∠CAF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠ABC=45°，

在△BAE和△CAF中

∴△BAE≌△CAF（SAS），

∴BE=CF，∠AEB=∠AFC=90°，S△ABE=S△ACF，

∴∠EAF+∠AFC=180°，

∴AE∥CF，

∴S△CEF=S△CEF=S△ABE，

∵∠AEF=∠AFE=45°，∠AEB=∠AFC=90°，

∴∠BEH=45°，∠CFE=45°，

∵BH⊥BE，

∴∠BEH=∠BHE=45°，

∴BE=EH=CF，且∠BHE=∠CFE=45°，∠BMH=∠CMF，

∴△BMH≌△CMF（AAS）

∴BM=CM，

∴S△BME=S△MCE，

∴S△BME+S△ABE=S△CME+S△CEF，

∴S四边形ABME=S△CMF=8，

故答案为8．