题目内容

【题目】如图①,AD为等腰直角△ABC的高,点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上,连接BG,AE.

(1)求证:BG=AE;
(2)将正方形DEFG绕点D旋转,当线段EG经过点A时,(如图②所示)
①求证:BG⊥GE;
②设DG与AB交于点M,若AG:AE=3:4,求 的值.

【答案】
(1)

证明:如图①,

∵AD为等腰直角△ABC的高,

∴AD=BD,

∵四边形DEFG为正方形,

∴∠GDE=90°,DG=DE,

在△BDG和△ADE中

∴△BDG≌△ADE,

∴BG=AE;


(2)

①证明:如图②,

∵四边形DEFG为正方形,

∴△DEG为等腰直角三角形,

∴∠1=∠2=45°,

由(1)得△BDG≌△ADE,

∴∠3=∠2=45°,

∴∠1+∠3=45°+45°=90°,即∠BGE=90°,

∴BG⊥GE;

②解:设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,

∴DG= GE= x,

∵△BDG≌△ADE,

∴BG=AE=4x,

在Rt△BGA中,AB= = =5x,

∵△ABD为等腰直角三角形,

∴∠4=45°,BD= AB= x,

∴∠3=∠4,

而∠BDM=∠GDB,

∴△DBM∽△DGB,

∴BD:DG=DM:BD,即 x: x=DM: x,解得DM= x,

∴GM=DG﹣DM= x﹣ x= x,

= =


【解析】(1)如图①,根据等腰直角三角形的性质得AD=BD,再根据正方形的性质得∠GDE=90°,DG=DE,则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE,于是得到BG=AE;(2)①如图②,先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°,再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°,则可得∠BGE=90°,所以BG⊥GE;
②设AG=3x,则AE=4x,即GE=7x,利用等腰直角三角形的性质得DG= GE= x,由(1)的结论得BG=AE=4x,则根据勾股定理得AB=5x,接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°,BD= AB= x,然后证明△DBM∽△DGB,则利用相似比可计算出DM= x,所以GM= x,于是可计算出 的值.

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