Question

【题目】探究题
（1）探究发现：
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图①在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150°．求证：AP2+BP2=CP2

证明：将△APC绕A点逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形
∴∠APP′=60° PA=PP′PC=
∵∠APB=150°∴∠BPP′=90°
∴P′P2+BP2=
即PA2+PB2=PC2
（2）类比延伸：
如图②在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，内部有一点P，若∠APB=135°，试判断线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．

（3）联想拓展：
如图③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60°，满足（kPA）2+PB2=PC2 ， 请直接写出k的值．

Answer 1

【答案】
（1）P′B；P′B2
（2）

解：关系式为：2PA2+PB2=PC2

证明如图②：将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，

则△APP′为等腰直角三角形

∴∠APP′=45°PP′= PA，PC=P′B，

∵∠APB=135°

∴∠BPP′=90°

∴P′P2+BP2=P′B2，

∴2PA2+PB2=PC2

（3）

解：k= ．

证明：如图③

将△APC 绕A点顺时针旋转120°得到△AP′B，连接PP′，过点A作AH⊥PP′，

可得∠APP′=30°PP′= PA，PC=P′B，

∵∠APB=60°，

∴∠BPP′=90°，

∴P′P2+BP2=P′B2，

∴（ PA）2+PB2=PC2

∵（kPA）2+PB2=PC2，

∴k= ．

【解析】解：（1）PC=P′B
P′P2+BP2=P′B2 ．
【考点精析】本题主要考查了图形的旋转的相关知识点，需要掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素才能正确解答此题．