题目内容
已知，Rt△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠A=90°，点B、C都在x轴上，且点A的
坐标为（2，
），∠ABC=30°，若抛物线y=ax2+bx+c恰好过A、B、C三点，且与y轴交于点D．
（1）求点B、C的坐标和抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点E是抛物线y=ax2+bx+c对称轴上一动点，试确定当点E在何处时，△AEC的周长最小？最小是多少？
（3）若点P为抛物线在第一象限图象上的动点，试确定当点P在何处时，四边形PDBC的面积最大？并求出最大面积．
坐标为（2，| 3 |
（1）求点B、C的坐标和抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
（2）若点E是抛物线y=ax2+bx+c对称轴上一动点，试确定当点E在何处时，△AEC的周长最小？最小是多少？
（3）若点P为抛物线在第一象限图象上的动点，试确定当点P在何处时，四边形PDBC的面积最大？并求出最大面积．
分析：（1）首先过点A作AF⊥x轴于点F，由点A的坐标为（2，
），∠ABC=30°，利用直角三角形的性质，即可求得点B与C的坐标，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）由（1），可求得抛物线的对称轴，又由点B、C关于直线x=1对称，求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，继而可求得答案；
（3）首先连接结PO，设点P的坐标为（t，-
t2+
t+
），过点P分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为N、G，由S四边形PDBC=S△POC+S△POD+S△BOD，即可求得答案．
| 3 |
（2）由（1），可求得抛物线的对称轴，又由点B、C关于直线x=1对称，求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，继而可求得答案；
（3）首先连接结PO，设点P的坐标为（t，-
| ||
| 3 |
2
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| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△AFB中，
∵∠ABC=30°，点A的坐标为（2，
），
∴OF=2，AF=
，∠ACF=60°，
∴BF=
=3，
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴点B的点标为（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC=
=1，
∴点C的坐标为（3，0），
将A、B、C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c得：
，
解得：
，
∴该抛线的解析式为：y=-
x2+
x+
…（4分）
（2）∵y=-
x2+
x+
=-
（x-1）2+
，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴点B、C关于直线x=1对称，
求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，
由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，
由B（-1，0），A（2，
）可得AB所在直线的解析式为：y=
x+
，…（7分）
当x=1时，y=
，
故点E的坐标为（1，
），
此时，△AEC的周长最小，最小值为AB+AC=2
+2…（8分）
（3）连接结PO，设点P的坐标为（t，-
t2+
t+
）其中O＜t＜3，
过点P分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为N、G，
由（1）知，点D的坐标为（0，
）…（9分）
则S四边形PDBC=S△POC+S△POD+S△BOD
=
×OC×PN+
×OD×PG+
×OB×OD
=
×3×（-
t2+
t+
）+
×
×t+
×1×
=-
(t-
)2+
…（11分）
故当t=
时，四边形PDBC的面积最大，最大面积为
，
此时点P的坐标为（
，
）．…（12分）
∵∠ABC=30°，点A的坐标为（2，
| 3 |
∴OF=2，AF=
| 3 |
∴BF=
| AF |
| tan30° |
∴OB=BF-OF=3-2=1，
∴点B的点标为（-1，0），
在Rt△AFC中，由∠ACF=60°，
∴FC=
| AF |
| tan60° |
∴点C的坐标为（3，0），
将A、B、C三点坐标分别代入y=ax2+bx+c得：
|
解得：
|
∴该抛线的解析式为：y=-
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2
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（2）∵y=-
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| 3 |
2
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| 3 |
| 3 |
=-
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| 3 |
4
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| 3 |
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴点B、C关于直线x=1对称，
求△AEC的周长的最小值，即为求AE+EC+AC的最小值，
由对称性知，AE+EC的最小值为AB的长，即当点E运动到AB与抛物线对称轴x=1的交点处时，△AEC的周长最小，
由B（-1，0），A（2，
| 3 |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
当x=1时，y=
2
| ||
| 3 |
故点E的坐标为（1，
2
| ||
| 3 |
此时，△AEC的周长最小，最小值为AB+AC=2
| 3 |
（3）连接结PO，设点P的坐标为（t，-
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| 3 |
过点P分别向 x轴，y轴作垂线，垂足分别为N、G，
由（1）知，点D的坐标为（0，
| 3 |
则S四边形PDBC=S△POC+S△POD+S△BOD
=
| 1 |
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| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
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| 3 |
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=-
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故当t=
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| 8 |
此时点P的坐标为（
| 3 |
| 2 |
5
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点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形周长最小值问题以及四边形面积最小值问题．此题综合性很强，难度很大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线．
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