题目内容

小明是个爱学习的孩子，他在一本数学课外读物上看到一道思考题：请将如图放置的边长为a的正方形ABCD和斜边为AE=2b（2b＜a）的等腰直角三角形FAE剪两刀，重新拼成一个面积为a²+b²的正方形．他找来硬纸片和剪刀进行

探索．先在BA上选取点G，使BG=b，连接CG，剪下△BCG并绕点C顺时针旋转90°到△CDH的位置，接下来的问题是：
（1）EH的长是多少？（用含a，b的式子表示）；
（2）能否将△AGF剪下，绕点F旋转到△EHF的位置？（求证：△AGF≌△EHF）；
（3）四边形GCHF是正方形吗？面积是否为a²+b²？请你与小明一起解答以上问题，并说明小明的探索是否成功？

分析：（1）由图知：EH=AD+DH-AE．
（2）通过证明△AGF≌△EHF，说明△AGF绕F旋能转到△EHF的位置．
（3）作FI⊥AD，根据△AGF≌△EHF，△AGF≌△EHF证明四边形FHCG是正方形．再通过勾股定理得到正方形GCHF的面积．

解答：

解：（1）∵AD=AB=a，DH=BG=b，AE=2b，
∴EH=AD+DH-AE=a+b-2b=a-b．（2分）

（2）∵AG=AB-BG=a-b，EH=a-b，
∴AG=EH．（3分）
∵∠FAG=45°+90°=135°，
∠FEH=180°-45°=135°，
∴∠FAG=∠FEH．（4分）
∵△AFE是等腰直角三角形，
∴AF=FE．（5分）
在△AGF和△EHF中

AF=EF

∠FAG=∠FEH

AG=EH

，
∴△AGF≌△EHF，即能将△AGF绕F旋转到△EHF的位置．（7分）

（3）作FI⊥AD，垂足为I；
∵△AFE是等腰直角三角形
∴FI是斜边上的中线∴FI=IE=

AE=

•2b=b
∴IH=IE+EH=b+a-b=a
∴FI=DH=b，IH=DC=a，又∵∠FIH=HDC=90°
∴△FIH≌△HDC（SAS）
∴FH=HC①（10分）
∵△AGF≌△EHF，△BCG绕点C顺时针旋转90°到△CDH的位置
∴FG=FH②，GC=HC③
由①②③得FH=HC=CG=FG
∴四边形FHCG是菱形（12分）
又由△AGF≌△EHF得：∠1=∠2
∠1+∠GFE=∠2+∠GFE=90°
∴四边形FHCG是正方形．（13分）
在Rt△BCG中，根据勾股定理：GC²=BC²+BG²=a²+b²
∴正方形GCHF的面积=GC²=a²+b²
∴小明的探索能成功．（14分）
注：用其他方法解答，只要正确，参照标准给分．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定、勾股定理等知识．