Question

若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a²，b²，c²的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以

a

，

b

，

c

的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以

1

a

，

1

b

，

1

c

的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为

 

．

Answer 1

分析：由已知三边，根据勾股定理得出a²+b²=c²，然后根据三角形三边关系即任意一边长＞其他二边的差，＜其他二边的合，再推出小题中各个线段是否能组成三角形．

解答：解：（1）直角三角形的三条边满足勾股定理a²+b²=c²，因而以a²，b²，c²的长为边的三条线段不能满足两边之和＞第三边，故不能组成一个三角形，故错误；

（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在

a

，

b

，

c

三个数中

c

最大，如果能组成一个三角形，则有

a

+

b

＞

c

成立，即(

a

+

b

)2＞(

c

)2，即a+b+2

ab

＞c，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以

a

，

b

，

c

的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；

（3）a+b，c+h，h这三个数中c+h一定最大，（a+b）²+h²=a²+b²+2ab+h²，（c+h）²=c²+h²+2ch
又∵2ab=2ch=4S_△ABC
∴（a+b）²+h²=（c+h）²，根据勾股定理的逆定理
即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；

（4）若以

1

a

，

1

b

，

1

c

的长为边的3条线段能组成直角三角形，
假设a=3，b=4，c=5，
∵（

1

4

）²+（

1

5

）²≠（

1

3

）²，
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．
故填②③．

点评：本题考查勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法．