题目内容

若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:
①以a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以
a
b
c
的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以
1
a
1
b
1
c
的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为
 
分析:由已知三边,根据勾股定理得出a2+b2=c2,然后根据三角形三边关系即任意一边长>其他二边的差,<其他二边的合,再推出小题中各个线段是否能组成三角形.
解答:解:(1)直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2,因而以a2,b2,c2的长为边的三条线段不能满足两边之和>第三边,故不能组成一个三角形,故错误;

(2)直角三角形的三边有a+b>c(a,b,c中c最大),而在
a
b
c
三个数中
c
最大,如果能组成一个三角形,则有
a
+
b
c
成立,即(
a
+
b
)
2
(
c
)
2
,即a+b+2
ab
>c
,(由a+b>c),则不等式成立,从而满足两边之和>第三边,则以
a
b
c
的长为边的三条线段能组成一个三角形,故正确;

(3)a+b,c+h,h这三个数中c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch
又∵2ab=2ch=4S△ABC
∴(a+b)2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理
即以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形.故正确;

(4)若以
1
a
1
b
1
c
的长为边的3条线段能组成直角三角形,
假设a=3,b=4,c=5,
∵(
1
4
2+(
1
5
2≠(
1
3
2
∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形,故错误.
故填②③.
点评:本题考查勾股定理,以及勾股定理的逆定理,同时,通过这一题目要学会,用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法.
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