Question

【题目】某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P＝（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：当0＜t≤12时，Q＝2t+8；当12＜t≤24时，Q＝﹣t+44．

（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；

（2）设第t（0＜t≤24）个月销售该原料药的月毛利润为W（单位：万元）

①求W关于t的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，336≤W≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】（1）P＝t+2；（2）①当0＜t≤8时，W＝240；当8＜t≤12时，W＝2t2+12t+16；当12＜t≤24时，W＝﹣t2+42t+88；②P的最小值为12吨，最大值为19吨

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）根据销售利润＝销售量×每吨利润，分段列出月毛利润W（元）与月份t之间的函数关系式即可；

（3）根据函数的增减性求得336≤W≤513时t的取值范围，即可求得对应的月销售量P的最小值和最大值．

解：（1）当8＜t≤24时，设 P＝kx+b，

将（8，10），（24，26）代入得:，

解得，

故当8＜t≤24时，P关于t的函数解析式为：P＝t+2；

（2）①当0＜t≤8时，W＝（2t+8）×＝240；

当8＜t≤12时，W＝（2t+8）（t+2）＝2t2+12t+16；

当12＜t≤24时，W＝（﹣t+44）（t+2）＝﹣t2+42t+88；

②当8＜t≤12时，W＝2t2+12t+16＝2（t+3）2﹣2，

∴8＜t≤12时，W随t的增大而增大，

当2（t+3）2﹣2＝336时，

解得t＝10或t＝﹣16（舍去），

当t＝12时，W取得最大值，最大值为448，

故当10≤t≤12时，336≤W≤448；

当12＜t≤24时，W＝﹣t2+42t+88＝﹣（t﹣21）2+529，

∴当t＝12时，W取得最小值448，

由﹣（t﹣21）2+529＝513，得t＝17或t＝25（舍去），

∴当12＜t≤17时，448＜W≤513；

∴当10≤t≤17时，336≤W≤513，

当t＝10时，P＝t+2＝12，当t＝17时，P＝t+2＝19，

∴此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．