题目内容

一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.
①如图,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求直线EC解析式;
②在①中,设BD与CE的交点为P,若点P,B在抛物线y=x2+bx+c上,求b,c的值;
③若将纸片沿直线l对折,点B落在坐标轴上的点F处,l与BF的交点为Q,若点Q在②的抛物线上,求l的解析式.精英家教网
分析:①本题的关键是求出E点的纵坐标,即AE的长,连接DE,根据折叠的性质可知BE=DE,设AE=x,那么BE=DE=4-x,在直角三角形ODC中,BC=5,OC=4,根据勾股定理可得出OD=3,那么AD=2,因此在直角三角形DEA中,根据勾股定理有x2+22=(4-x)2,据此可求出AE的长,也就得出了E点的坐标,然后用待定系数法即可求出直线CE的解析式.
②本题考的是用待定系数法求二次函数的解析式,关键是求出P点的坐标.过P作PG⊥OA于G,那么PG是三角形DAB的中位线,因此PG=
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AB=2,DG=
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AD=1,据此可求出P点坐标为(4,2).然后将B,P坐标代入抛物线的解析式中即可求出b,c的值.
③本题要分两种情况进行讨论:
1、当F在x轴上时,可仿照②的解法,过Q作x轴的垂线,那么不难得出Q点的纵坐标为AB的一半即为2,然后将其代入抛物线的解析式中即可求出Q点的坐标.
2、当F在y轴上时,方法与一类似,只不过是过Q作y轴的垂线,得出Q的横坐标为BC的一半即
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2
,然后方法同一.
解答:精英家教网解:①连接DE,
∵根据折叠的性质可知BE=DE,
设AE=x,则BE=DE=4-x,
在Rt△OCD中,BC=CD=5,OC=4,
∴OD=3,
∴AD=2,
∴在Rt△DEA中,x2+22=(4-x)2,解得x=
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∴E(5,
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),
设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0)
b=4
5k+b=
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,解得
k=-0.5
b=4

∴直线CE的解析式为:y=-0.5x+4;

②过P作PG⊥x轴于G
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据题知,PG∥AB,PD=PB
∴PG=
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AB=2,DG=
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2
AD=1
∴P点坐标为(4,2)
∵点P,B在抛物线y=x2+bx+c上
∴b=-7,c=14;

③当点F在x轴上时,过Q作QM⊥x轴于M
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同②可知QM=
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AB=2,则Q点的纵坐标为2
得x2-7x+14=2
∴x=3或x=4
∴Q点的坐标为(3,2)或(4,2)
当Q点坐标为(3,2)时,如图,OM=3,MA=2,FA=4
AB=4
FA=AB,而l为BF的中垂线
∴点A在l上
∴l的解析式为y=-x+5
当Q点坐标为(4,2)时,如图,OM=4,MA=1,OF=1,BF=5,而CB=5.
∴BF=CB
∵l为BF的中垂线,
∴点C在l上,
∴l的解析式为y=-
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x+4.
当点F在y轴上时,可求得Q(
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),l与y轴交点为(0,
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4

∴l的解析式为y=-2x+
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4

综上,l的解析式为y=-x+5或y=-
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2
x+4或y=-2x+
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点评:本题着重考查了矩形的性质、图形翻折变换、中位线定理以及一次函数和二次函数的相关知识等重要知识点,综合性强,考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法.
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