Question

综合题
阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助，所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的，例如解方程x²-4x+4=0，则（x-2）²=0∴x=2x²-2x+y²+4y+5=0
求x、y．则有（x²-2x+1）+（y²+4y+4）=0∴（x-1）²+（y+2）²=0．解得x=1，y=-2．x²-2x-3=0则有x²-2x+1-1-3=0∴（x-1）²=4．解得x=3或x=-1，根据以上材料解答下列各题：
（1）若a²+4a+4=0．求a的值．
（2）x²-4x+y²+6y+13=0．求（x+y）^-2011的值．
（3）若a²-2a-8=0．求a的值．
（4）若a，b，c表示△ABC的三边，且a²+b²+c²-ac-ab-bc=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵a²+4a+4=0，
∴（a+2）²=0，
∴a+2=0，
∴a=-2；

（2）∵x²-4x+y²+6y+13=0，
∴（x-2）²+（y+3）²=0，
∴x=2，y=-3，
∴（x+y）^-2011=（2-3）^-2011=-1；

（3）移项得，a²-2a=8，
两边同时加上1得，a²-2a+1=8+1，
配方得，（a-1）²=9，
a-1=±3，
解得a=-2，a=4；

（4）△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a²+b²+c²-ac-ab-bc=0，
∴2a²+2b²+2c²-2ac-2ab-2bc=0，
即a²+b²-2ab+b²+c²-2bc+a²+c²-2ac=0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
分析：（1）运用完全平方公式将a²+4a+4=0变形为（a+2）²=0，即可求出a的值；
（2）首先将x²-4x+y²+6y+13=0分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出x、y的值，再代入（x+y）^-2011即可解答；
（3）本题即用配方法解一元二次方程，先把左边配成完全平方式，右边化为常数，即可求解；
（4）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题．
点评：此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断．解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．