Question

下面两题任选一题
（1）求证：三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半．
（2）求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和是一个定值．

Answer 1

分析：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，根据SAS判定△ACD≌△EBD，从而可得到BE=AC，再根据三角形三边关系即可证得结论；
（2）连接AD，根据等腰三角形的性质可表示出S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD的值，再根据S_△ABC=

1

2

AB×AB边上的高，即可得到ED+FD=AB边上的高，即等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值．

解答：（1）证明：延长AD到E，使AD=DE，连接BE．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDA，AD=DE，
∴△ACD≌△EBD，
∴BE=AC，
∵AB+BE＞AE，AE=AD+DE=2AD，
∴AB+AC＞2AD，
∴AD＜

1

2

（AB+AC）．

（2）证明：连接AD．
∵AB=AC
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD=

1

2

AB×ED+

1

2

AC×FD=

1

2

×AB×（ED+FD）
∵S_△ABC=

1

2

AB×AB边上的高
∴ED+FD=AB边上的高
∴等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质的综合运用．