Question

（2012•历下区二模）（1）已知：如图1，已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：DE=DF．
（2）如图2，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是

AB

的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB，CA的延长线于E，F，求证：EF是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据等腰三角形的三线合一定理得出AD平分∠BAC，根据角平分线性质得出DE=DF即可；
（2）连接OD，根据圆周角定理得出BA⊥BC，推出EF∥AB，根据垂径定理得出OD⊥AB，即可得出OD⊥EF，根据切线的判定推出即可．

解答：
（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．

（2）证明：连接OD交AB于M，
∵D为弧AB中点，OD为半径，
∴OD⊥AB，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
AB⊥BC，
∵EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∵OD⊥AB，
∴OD⊥EF，
∵OD是半径，
∴EF为⊙O的切线．

点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识的，注意：等腰三角形的三线合一定理，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．