Question

设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I₁、I₂分别是△ADC、△BDC的内心，AC=3，BC=4，求I₁I₂．

Answer 1

解：作I₁E⊥AB于E，I₂F⊥AB于F，
在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，，
又CD⊥AB，由射影定理可得，
故，，
因为I₁E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
所以I₁E=（AD+CD-AC）=，
连接DI₁、DI₂，则DI₁、DI₂分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
所以∠I₁DC=∠I₁DA=∠I₂DC=∠I₂DB=45°，
故∠I₁DI₂=90°，
所以I₁D⊥I₂D，，
同理，可求得，
所以．
分析：首先作I₁E⊥AB于E，I₂F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再运用射影定理求得AD、BD的长．因为I₁E为直角三角形ACD的内切圆的半径，即可求得I₁E的值．连接DI₁、DI₂，则DI₁、DI₂分别是∠ADC和∠BDC的平分线，利用垂直的定义，可得到I₁D⊥I₂D．利用在直角三角形中，直角边也对应角的关系，求得DI₁、DI₂的值，进而求得I₁I₂的值．
点评：本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形．解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I₁、I₂的半径，再利用勾股定理求得DI₁、DI₂，最后在证明I₁D⊥I₂D的基础上求得I₁I₂的值．