Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，AB∥x轴，点C是点B关于原点O的对称点，连接AC交x轴于点D，点A的坐标为（0，-3），sinB=

3

5

．
（1）求B、C、D三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）设点E（8，n）在（2）中的抛物线上，请你在x轴上求一点F，使得△DEF是以DE为底边的等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据题意得出OA、OB、AB的长，先求出B的坐标，再根据对称求出C、D两点的坐标即可．
（2）本题需先设出抛物线的解析式y=ax²+bx-3，然后列出方程组求出a、b的值，即可得出所求抛物线的解析式．
（3）本题需先求出E点的坐标，再设F点的坐标为F（m，0），根据DF=EF列出方程，解出m的值，即可求出F点的坐标．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，-3），
∴OA=3．
∵AB∥x轴，
∴∠OAB=90°．
∴sinB=

OA

OB

=

3

5

．
∴OB=5．
∴AB=4．
∴B点坐标为：B（4，-3）．
∵点C是点B关于原点O的对称点，
∴C点坐标为：C（-4，3），且OC=OB．
∴OD=

1

2

AB=2．
∴D点坐标为：D（-2，0）；

（2）设过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx-3，
∴

16a+4b-3=-3 16a-4b-3=3.

，
解得

a= 3 16 b=- 3 4 .

，
所求抛物线的解析式为y=

3

16

x2-

3

4

x-3；

（3）当x=8时，y=

3

16

×64-

3

4

×8-3=3．
∴E点坐标为：E（8，3）．
设F点的坐标为F（m，0），
∴DF=m+2．
过点E作EH⊥x轴于H，
∴EF²=EH²+FH²=3²+（8-m）²．
∵DF=EF，
∴（m+2）²=3²+（8-m）²．
解得

69

20

．
F点的坐标为（

69

20

，0）

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要结合图形列出方程，求出点的坐标是本题的关键．