Question

对于二次三项式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解为（x+a）²的形式，但对于二次三项式x²+2ax-3a²，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x²+2ax-3a²中先加上一项a²，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变．于是有x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a²
=（x+a）²-4a²．
=（x+a）²-（2a）²=（x+3a）（x-a）
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请用上述方法把x²-4x+3分解因式．
（2）多项式x²+2x+2有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时x的值是多少？

Answer 1

分析：（1）要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式；
（2）把多项式x²+2x+2凑成完全平方式加常数项的形式，即可求出多项式x²+2x+2有最小值时x的值．

解答：解：（1）x²-4x+3
=x²-2×2x+2²-2²+3
=（x-2）²-1²
=（x-1）（x-3）；

（2）x²+2x+2
=x²+2x+1²-1²+2
=（x+1）²+1，
故当它有最小值时x的值是-1．

点评：此题主要考查了因式分解的应用，完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0．所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．