Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵DC‖AB，

∴∠CDB=∠ABD，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABD，

∴∠CDB=∠CBD，

∴BC=DC，

又∵AD=BC，

∴AD=DC；

（2）解：△DEF为等边三角形，

证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，

∴点F是BD的中点，

∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．

∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，

∴△DEF为等边三角形．

【解析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的性质得出对应角关系即可得出∠CDB=∠CBD进而得出AD=DC，（2）利用等腰三角形的性质得出点F是BD的中点，再利用直角三角形的性质以及等边三角形的判定得出答案．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的判定的相关知识点，需要掌握三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形才能正确解答此题．