Question

如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=-

8

x

的图象交于A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是-2；①求一次函数的解析式②观察图象，x为何值时，一次函数大于反比例函数？③求△AOB的面积．④在直线AB上是否存在点P，使S_△POA=2S_△AOB，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：①分别把x=-2和y=-2代入反比例函数的解析式，求出A、B的坐标，代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
②根据两函数交点的坐标，观察图象即可得出答案；
③求出D的坐标，求出△AOD和△BDO的面积，相加即可；
④根据三角形面积之间的关系和三角形的面积公式得出PA=2AB，求出AB的值，设P（x，-x+2），根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．

解答：①解：把x=-2代入y=-

8

x

得：y=4，
把y=-2代入y=-

8

x

得：x=4，
∴A（-2，4），B（4，-2），
代入y=kx+b得：

4=-2k+b -2=4k+b

，
解得：k=-1，b=2，
∴一次函数的解析式是：y=-x+2．

②解：∵A（-2，4），B（4，-2），
通过图象可知：当x＜-2或0＜x＜4时，一次函数大于反比例函数．

③解：当x=0时，y=-x+2=2，
∴D（0，2），
即OD=2，
∴△AOB的面积是S=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×2×|-2|+

1

2

×2×4=6，
答：△AOB的面积是6．

④解：存在，
理由是：∵P在直线y=-x+2上，
设P（x，-x+2），
∵S_△AOP=2S_△AOB，
∵△AOB的边AB上的高和△POA的边AP上的高相等，
∴AP=2AB，
由勾股定理得：AB=

(-2-4)2+(4+2)2

=6

2

，
∴PA=12

2

，
即（x+2）²+（-x+2-4）²=（12

2

）²，
解得：x₁=-14，x₂=10，
当x=-14时，y=-x+2=16，
当x=10时，y=-x+2=-8，
∴P的坐标是（-14，16）或（10，-8）．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的运用，主要培养了学生运用性质进行计算的能力，同时也培养了学生的观察图形的能力，本题综合性比较强，用了数形结合思想．