题目内容
【题目】如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.
（1）在图1中，DE交边AB于M，DF交边BC于N，证明:DM＝DN；
（2）在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（3）继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
【答案】（1）详情见解析；（2）四边形DMBN面积不发生变化，面积为
；（3）仍然成立，证明见解析.
【解析】
（1）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明△MBD≌△NCD，进而求证即可；
（2）根据全等得出△MBD与△NCD面积相等，求出四边形DMBN的面积等于△BDC的面积，进而求解即可；
（3）连接BD，求出BD=DC，∠MDB=∠CDN，∠C=∠ABD，根据ASA证明△MBD≌△NCD，进而求证即可.
（1）如图1，连接BD.
∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴BD=DC=AD，∠BDC=90°，
∴∠ABD=∠C=45°，
∵∠MDB+∠BDN=90°，∠CDN+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC，
在△MBD与△NCD中，
∵∠MDB=∠NDC，BD=DC，∠MBD=∠C，
∴△MBD≌△NCD，
∴DM=DN.
（2）四边形DMBN面积不发生变化.
由（1）得△MBD≌△NCD，
∴S△MBD=S△NCD，
∴四边形DMBN面积=S△DMB+S△BDN= S△CND+ S△BDN=
S△ABC=
.
（3）DM=DN仍然成立.
如图2，连接BD，
∵在Rt△ABC中，AB=BC，AD=DC，
∴DB=DC,∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，
∴∠DBM=∠DCN=135°，
∵∠NDC+∠CDM=90°，∠BDM+∠CDM=90°，
∴∠CDN=∠BDM，
在△CDN与△BDM中，
∵∠CDN=∠BDM，DC=DB，∠DCN=∠DBM，
∴△CDN≌△BDM，
∴DM=DN.
