Question

如图，已知一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数y₂=-

4

x

的图象交于A、B两点、与y轴交于点P，且点A的纵坐标和点B的横坐标都是4，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）并利用图象指出，当x为何值时有y₁＞y₂；当x为何值时有y₁＜y₂；
（4）并利用图象指出，当-1＜x＜4时y₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设A点坐标为（a，4），点B的坐标为（4，c），将两点坐标分别代入y₂=-

4

x

，求出a和c的值，在将所求得的A、B点坐标分别代入y₁=kx+b，求出一次函数的解析式；
（2）根据（1）中所求一次函数的解析式，计算出P点坐标，再根据A点和B点坐标求出△AOP的面积和△POB的面积，将二者相加即为△AOB的面积．
（3）由图象直接解答即可；
（4）由图象直接解答即可．

解答：解：（1）设A点坐标为（a，4），B点的坐标为（4，c），
将A（a，4）代入y₂=-

4

x

得，
4=-

4

a

，a=-1，
则A点坐标为（-1，4），
将B点的坐标（4，c）代入y₂=-

4

x

得，
c=-

4

4

=-1，
则B点坐标为（4，-1）．
将A（-1，4），B（4，-1）分别代入解析式得，

-k+b=4 4k+b=-1

，
解得，

k=-1 b=3

，
一次函数解析式为y₁=-x+3．

（2）∵一次函数解析式为y₁=-x+3，当x=0时，y₁=3，可知P点坐标为（0，3），
又∵A（-1，4），B（4，-1），
则S_△AOP=

1

2

×3×1=

3

2

，
S_△POB=

1

2

×3×4=6，
S_△AOB=

3

2

+6=

15

2

．

（3）由图可知，y₁＞y₂时，x＜-1或0＜x＜4；
y₁＜y₂时，-1＜x＜0或x＞4．

（4）由图可知，当-1＜x＜4时-1＜y₁＜4．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法、函数图象上点的坐标特征及函数图象与不等式，综合性较强，尤其要注意数形结合．