Question

已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，cosB=

1

3

，⊙O的半径为OB，圆心在AB上，且分别与边AB、BC相交于D、E两点，但⊙O与边AC不相交，又EF⊥AC，垂足为F．设OB=x，CF=y．
（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设OB=x，CF=y．
①求y关于x的函数关系式；
②当直线DF与⊙O相切时，求OB的长．

Answer 1

分析：（1）要想证EF是⊙O的切线，只要连接OE，求证∠OEF=90°即可；
（2）求y关于x的函数关系式，可以证明△BOE∽△BAC及应用三角形的性质将两者结合求出；EF、DF与⊙O相切，易证四边形OBCF是等腰梯形，得出OB=CF，得出方程，求出OB的长．

解答：解：（1）直线EF与⊙O相切（1分）
理由：如图①，连接OE，则OE=OB，∠OBE=∠OEB．
∵AB=AC，
∴∠OBE=∠C．
∴∠OEB=∠C．
∴OE∥AC．（2分）
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OE．
∵点E在⊙O上，
∴EF是⊙O的切线．（4分）

（2）①如图②，作AH⊥BC，H为垂足，并连接OE，那么BH=

1

2

BC，
∵AB=6，cosB=

1

3

，
∴BH=2，BC=4．（5分）
∵OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC．
∴

BE

BC

=

OE

AC

．
即

BE

4

=

x

6

．
∴BE=

2x

3

．
∴EC=4-

2

3

x．（7分）
在Rt△ECF中，cosC=cosB=

1

3

，
∴CF=EC•cosC=(4-

2

3

x)•

1

3

．
∴所求函数的关系式为y=

4

3

-

2

9

x．（8分）

②如图③，连接OE，DE，OF，由EF、DF与⊙O相切，
∴FD=FE，且∠DFO=∠EFO．
∴OF垂直平分DE．（10分）
∵∠DEB=90°，
∴BC⊥DE．
∴OF∥BC．
∴四边形OBCF是等腰梯形．
∴OB=CF，得

4

3

-

2

9

x=x．
解得：x=

12

11

．
即OB=

12

11

．（12分）

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形，等腰梯形的性质解决函数问题．