Question

如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC的延长线于F，垂足为E．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE
其中正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

①∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAF=22.5°，
∵在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠F=90°，
∴∠EAF=∠FBC，
∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF，
∴Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴AD=BF；
故①正确；
②∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，
故②正确；
③∵①中Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，AC+CD=AC+CF=AF，
∵∠CBF=∠EAF=22.5°，
∴在Rt△AEF中，∠F=90°-∠EAF=67.5°，
∵∠CAB=45°，
∴∠ABF=180°-∠F-∠CAB=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴AF=AB，即AC+CD=AB，
故③正确；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE=

1

2

BF，
∵在Rt△BCF中，若BE=CF，则∠CBF=30°，与②中∠CBF=22.5°相矛盾，
故BE≠CF，
故④错误；
⑤由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BF=2BE，
故⑤正确．
所以①②③⑤四项正确．
故选D．