题目内容
【题目】已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．
（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．
【答案】
（1）
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACF=∠DCD=90°，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被对角线AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，
，
∴△ACF≌△ACE，
∴CE=CE，
∵CE=a，CF=b，
∴a=b；
（2）
解：当△AEF是直角三角形时，
①当∠AEF=90°时，
∵∠EAF=45°，
∴∠AFE=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF2=2FE2=2（CE2+CF2），
AF2=2（AD2+BE2），
∴2（CE2+CF2）=2（AD2+BE2），
∴CE2+CF2=AD2+BE2，
∴CE2+CF2=16+（4+CE）2，
∴CF2=8（CE+4）①
∵∠AEB+∠BEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BEF=∠BAE，
∴△ABE∽△ECF，
∴ 
，
∴ 
，
∴4CF=CE（CE+4）②，
联立①②得，CE=4，CF=8
∴a=4，b=8，
②当∠AFE=90°时，
同①的方法得，CF=4，CE=8，
∴a=8，b=4．
（3）
ab=32，
理由：如图，
∵∠BAG+∠AGB=90°，∠AFC+∠CGF=90°，∠AGB=∠CGF，
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴ 
，
∴EC×CF=AC2=2AB2=32
∴ab=32
【解析】（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，再判断出∠AFC+∠AEC=45°，从而求出∠AEC，而∠ACF=∠ACE=135°，得到△ACF∽△ECA，即可．此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断△ACF∽△ECA，也是本题的难点．
