Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-

3

4

x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若（1）中抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若把（1）中的抛物线向左平移3.5个单位，则图象与x轴交于F、N（点F在点N的左侧）两点，交y轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使点Q到E、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据轴对称和角平分线的性质以及勾股定理可以求出OC的长度，从而求出点C的坐标．再根据直线的解析式求出A、B的坐标，最后利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）根据（1）的解析式可以转化为顶点式而求出顶点坐标D，利用B、C的坐标求出BC的解析式，假设在直线BC上存在满足条件的点P，利用平行四边形的性质和三角形全等的性质求出点P的坐标，得到点P不在直线BC上，而得出结论．
（3）平移后根据（1）的解析式可以得到平移后的解析式，顶点坐标及对称轴，可以求出与坐标轴的交点F、N、E的坐标，连接EF，根据E、F的坐标求出其解析式，求出EF与对称轴的交点，就是Q点．

解答：解：（1）连接CH
由轴对称得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO
∴在△CHA中由勾股定理，得
AC²=CH²+AH²
∵直线y=-

3

4

x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B两点
∴当x=0时，y=6，当y=0时，x=8
∴B（0，6），A（8，0）
∴OB=6，OA=8，
在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=10
设C（a，0），∴OC=a
∴CH=a，AH=4，AC=8-a，在Rt△AHC中，由勾股定理，得
（8-a）²=a²+4²解得
a=3
C（3，0）
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，由题意，得

6=c 0=64a+8b+c 0=9a+3b+c

解得：

a= 1 4 b=- 11 4 c=6

∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x2-

11

4

x+6
∴y=

1

4

(x-

11

2

)2-

25

16

（2）由（1）的结论，得
D（

11

2

，-

25

16

）
∴DF=

25

16

设BC的解析式为：y=kx+b，则有

6=b 0=3k+b

解得

b=6 k=-2

直线BC的解析式为：y=-2x+6
设存在点P使四边形ODAP是平行四边形，P（m，n）
作PE⊥OA于E，HD交OA于F．
∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA
∴∠POE=∠DAF
∴△OPE≌△ADF
∴PE=DF=n=

25

16

∴

25

16

=-2x+6
×=

71

32

P（

5

2

，

25

16

）
当x=

5

2

时，
y=-2×

5

2

+6=1≠

25

16

∴点P不再直线BC上，即直线BC上不存在满足条件的点P．

（3）由题意得，平移后的解析式为：
y=

1

4

(x-2)2-

25

16

∴对称轴为：x=2，
当x=0时，y=-

9

16

当y=0时，0=

1

4

(x-2)2-

25

16

解得：x1=-

1

2

，x2=

9

2

∵F在N的左边
F（-

1

2

，0），E（0，-

9

16

），N（

9

2

，0）
连接EF交x=2于Q，设EF的解析式为：y=kx+b，则有

0=- 1 2 k+b - 9 16 =b

解得：

k=- 9 8 b=- 9 16

∴EF的解析式为：y=-

9

8

x-

9

16

∴

y=- 9 8 x- 9 16 x=2

解得：

x=2 y=- 45 16

∴Q（2，-

45

16

）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了轴对称的性质，勾股定理的运用，待定系数法求函数的解析式的方法，图象的平移，平行四边形的判定及性质以及最值的确定等多个知识点．