Question

如图，若⊙O₁与⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁与⊙O₂的外公切线，B、C为切点．

　　(1)求证：AB⊥AC；

　　(2)如图，若⊙O₁与⊙O₂外离时，连心线O₁O₂与⊙O₁和⊙O₂相交于M、N，BM、CN的延长线交于点A，则BA与CA是否垂直?请证明你的结论．

　　(3)若将上图中的⊙O₁向右移动，使⊙O₁与⊙O₂相交(如下图)，是否还有与(2)相应的结论?请画出相应的图形，并说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：过点A作⊙O1与⊙O2的内公切线AD交BC于D．因为BC是两圆的公切线，切点为B、C，所以DA=DB=DC，所以AC⊥AB． (2)AB⊥AC成立． 证明：连结O1B、O2C． ∵　BC为⊙O1与⊙O2的外公切线，∴　O1B⊥BC，O2C⊥BC． ∴　O1B∥O2C．∴　∠O1+∠O2=180°． 又∵　∠CBA= ∠O1，∠BCA=∠O2， ∴　∠CBA+∠BCA=(∠O1+∠O2)=90°． ∴　AB⊥AC． (3)结论仍成立，即AB⊥AC． 证明：连结O1B、O2C，则有O1B⊥BC，O2C⊥BC． ∴　O1B∥O2C．∴　∠O1+∠O2=180°． 又∵　∠CBA=∠O1，∠BCA=∠O2． ∴　∠CBA+∠BCA=(∠O1+∠O2)=90°． ∴　AB⊥AC

提示：

本题是圆的平移结论不变问题．解决问题的方法：(1)是根据特殊的位置关系，采用特殊的证法，实质上(2)、(3)的证法也适用于(1)．解(3)的关键是准确画出图形，找准对应点．本题有“三不变”：结论不变，辅助线连法不变，证题方法不变．