题目内容
【题目】探究题
如图，点O是等边△ABC内一点，∠A OB﹦1100，∠BOC﹦a，将△BOC绕点C按顺时钟方向旋转60O得△ADC，连接OD.
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当a﹦150O时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究：当仅为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【答案】（1）等边三角形；（2）直角三角形；（3）当
的度数为
或
或
时，△AOD是等腰三角形.
【解析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC
∴CO=CD，∠OCD=60°
∴△COD是等边三角形.
（2）解：当
=150°时，△AOD是直角三角形
理由是:∵△BOC≌△ADC
∴∠ADC=∠BOC=150°
又∵△COD是等边三角形
∴∠ODC=60°[来
∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°，即△AOD是直角三角形.
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO
∵∠AOD= 
= 
,∠ADO= 
∴
= 
∴
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO
∵∠OAD=
（∠AOD+∠ADO）=
=
∴
=
∴
③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.
∵∠AOD= 
= 
，∠OAD=
∴
=
，解得
综上所述：当
的度数为
或
或
时，△AOD是等腰三角形.
“点睛”本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形）的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进，试题中几何演绎推理的难度适中，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等）能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.
