题目内容
(2013•齐河县一模)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC边上的一点,EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F,G.
(1)求证:
=
;
(2)FD与DG是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
(1)求证:
EG |
AD |
CG |
CD |
(2)FD与DG是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
分析:(1)由比例线段可知,我们需要证明△ADC∽△EGC,由两个角对应相等即可证得;
(2)FD与DG垂直,由矩形的判定定理可知,四边形AFEG为矩形,根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD,从而不难得到结论.
(2)FD与DG垂直,由矩形的判定定理可知,四边形AFEG为矩形,根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD,从而不难得到结论.
解答:(1)证明:在△ADC和△EGC中,
∵∠ADC=∠EGC,∠C=∠C,
∴△ADC∽△EGC,
∴
=
;
(2)答:FD与DG垂直,
证明:在四边形AFEG中,
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°,
∴四边形AFEG为矩形.
∴AF=EG.
∵
=
,
∴
=
,
又∵△ABC为直角三角形,AD⊥BC,
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC,
∴△AFD∽△CGD.
∴∠ADF=∠CDG.
∵∠CDG+∠ADG=90°,
∴∠ADF+∠ADG=90°.
即∠FDG=90°.
∴FD⊥DG.
∵∠ADC=∠EGC,∠C=∠C,
∴△ADC∽△EGC,
∴
EG |
AD |
CG |
CD |
(2)答:FD与DG垂直,
证明:在四边形AFEG中,
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°,
∴四边形AFEG为矩形.
∴AF=EG.
∵
EG |
AD |
CG |
CD |
∴
AF |
AD |
CG |
CD |
又∵△ABC为直角三角形,AD⊥BC,
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC,
∴△AFD∽△CGD.
∴∠ADF=∠CDG.
∵∠CDG+∠ADG=90°,
∴∠ADF+∠ADG=90°.
即∠FDG=90°.
∴FD⊥DG.
点评:此题考查了相似三角形的判定和性质,①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.相似三角形的对应边的比相等,对应角相等.
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