题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2<0)的顶点.

(1)求A、B两点的坐标;

2)当BDM为直角三角形时,求的值.

3)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得PBC的面积最大?若存在,求出PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;

【答案】(1)A(-1,0),B(3,0);(2)-;(3)P(,-);.

【解析】

试题分析: (1)将y=mx2-2mx-3m化为交点式,即可得到A、B两点的坐标;

(2)先表示出DM2,BD2,MB2,再利用DM2+MB2=BD2,即可求得m的值;

(3)先用待定系数法得到抛物线C1的解析式,过点P作PQy轴,交BC于Q,用待定系数法得到直线BC的解析式,再根据三角形的面积公式和配方法得到PBC面积的最大值.

试题解析:(1)由题意可得:y=mx2-2mx-3m=m(x-3)(x+1),

m0,

当y=0时,0=m(x-3)(x+1),

解得:x1=-1,x2=3,

A(-1,0),B(3,0);

(2)如图1,

y=mx2-2mx-3m=m(x-1)2-4m,

顶点M坐标(1,-4m),

当x=0时,y=-3m,

D(0,-3m),B(3,0),

DM2=(0-1)2+(-3m+4m)2=m2+1,

MB2=(3-1)2+(0+4m)2=16m2+4,

BD2=(3-0)2+(0+3m)2=9m2+9,

BDM为RtM为直角的直角三角形时,有:DM2+MB2=BD2

DM2+MB2=BD2时有:m2+1+16m2+4=9m2+9,

解得m=-(m=舍去).

故m=-时,BDM为以M为直角的直角三角形;

(3)设C1:y=ax2+bx+c,将A、B、C三点的坐标代入得:

解得

故C1:y=x2-x-

如图2:过点P作PQy轴,交BC于Q,

由B、C的坐标可得直线BC的解析式为:y=x-

设P(x,x2-x-),则Q(x,x-),

PQ=x--(x2-x-)=-x2+x,

SPBC=SPCQ+SPBQ=PQOB=×(-x2+x)×3=-(x-2+

当x=时,SPBC有最大值,Smax=

×2--=-

故P(,-).

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