Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若c=0，则方程必有一根为0；②若a+c=0，则方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；③当（a+c）²≤b²时，关于x的方程ax²+bx+c=0必有实根；④若b²-5ac＞0时，则方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等实根．其中正确的结论有

1. A.
   ①②③④
2. B.
   只有①②
3. C.
   只有①②③
4. D.
   只有②④

Answer 1

A
分析：①根据此时c=0，根的判别式△=b²≥0，即可作出判断；
②根据此时a+c=0，根的判别式，即可作出判断；
③根据当（a+c）²≤b²时，将b²=（a+c）²代入即可得出判别式的值的符号，即可得出答案；
④根据若b²-5ac＞0，即可得出△=b²-4ac＞0，则方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等实根．
解答：①∵c=0，
∴△=b²≥0，
∴若c=0，则方程必有一根为0；故此选项正确；
②因为a+c=0，a≠0，所以①a、c异号，所以△=b²-4ac＞0，所以方程有两个不等的实数根；故此选项正确；
③∵（a+c）²≤b²，
∴当b²=（a+c）²时，
△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，
∴当（a+c）²≤b²时，关于x的方程ax²+bx+c=0必有实根；故此选项正确；
④当b²-5ac＞0，
∵b²≥0，b²＞5ac，
∴△=b²-4ac＞0，则方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等实根．
所以①②③④成立．
故选A．
点评：此题综合考查了根的判别式与一元二次方程，试题在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解．