题目内容

已知抛物线C₁：y= $数学公式$ （x+4）²-1交y轴交于点E，对称轴AP交抛物线、x轴于点A、P．在直线AP右侧的x轴上有一点M，且tan∠PAM=3，将抛物线C₁绕点M 旋转180°得到抛物线C₂，点B为C₂的顶点．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）已知点N是y轴上一点，△ABN的内心在y轴上，求N点坐标；
（3）将抛物线C₂沿其对称轴向上平移m个单位长度（m＞0），得到抛物线C₃，其顶点为D，与y轴的交点为F，是否存在m的值，使四边形AEDF为梯形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线C₁：y= $\text{[math]}$ （x+4）²-1= $\text{[math]}$ x²+4x+7，
∴A（-4，-1）、E（0，7）；

△PAM中，AP=1，tan∠PAM=3，∴PM=3PA=3，OM=OP-PM=1
∴M（-1，0）；
依题意，点A、B关于点M对称，则 B（2，1）
∴抛物线C₂：y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+1．

（2）△ABN的内心在y轴上，则ON平分∠ANB；
过点A作AG⊥y轴于G，BH⊥y轴于H，如右图；
设N（0，y），则 NH=y-1、NG=y+1；
∵∠ANG=∠BNH、∠AGN=∠BHN=90°
∴△ANG∽△BNH，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 y=3
∴N（0，3）．

（3）依题意，设抛物线C₃：y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+1+m=- $\text{[math]}$ x²+2x+m-1（m＞0）；
∴D（2，m+1）、F（0，m-1）；
已知A（-4，-1）、E（0，7）；
∴k_AE= $\text{[math]}$ =2、k_DF= $\text{[math]}$ =1、k_AF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 、k_DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴k_AE≠k_DF，
∴AE与DF不平行；
因此只考虑AF与DE平行这一种情况，则有：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 m=12；
所以当m=12时，四边形AEDF是梯形．
分析：（1）首先能确定抛物线C₁的顶点A和与y轴交点E的坐标；根据条件∠PAM=3能确定点M的坐标；抛物线C₁旋转180°后，开口方向向下，旋转后的顶点与旋转前的顶点关于点M对称，可据此求出抛物线C₂的解析式．
（2）若△ABN的内心在y轴上，那么点N必在∠ANB的角平分线上，所以分别过点A、B作y轴的垂线，通过构建的相似三角形即可确定点N的坐标．
（3）首先求出平移后的抛物线C₃解析式，能确定点D、F的坐标，然后表示出四边形四边的斜率，令两组对边分别平行（即斜率相同），先求出m的值（需注意m＞0），进一步得到点D、F的坐标后，再确定另两组对边是否相等，若相等，那么四边形是平行四边形，若不相等，则是梯形．
点评：题目主要考查的是函数解析式的确定、函数图象的旋转和平移、三角形内心的特点以及梯形的判定等知识；需要注意的是在梯形的判定条件中，一定不要漏掉“另一组对边不平行”的条件．