题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（0，2），动点A从原点O出发，沿着x轴正方向移动，△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A、B、P顺时针方向排列），当点A与原点O重合时，得到等腰直角△OBC（此时点P与点C重合）．
（1）BC=______；当OA=2时，点P的坐标是______；
（2）设动点A的坐标为（t，0）（t≥0）．
①求证：点A在移动过程中，△ABP的顶点P一定在射线OC上；
②用含t的代数式表示点P的坐标为：（______，______）；
（3）过点P做y轴的垂线PQ，Q为垂足，当t=______时，△PQB与△PCB全等．
【答案】（1）
，（2，2）；（2）①见解析，②
，；（3）2+2．
【解析】
（1）作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．证明△PMB≌△PNA即可解决问题．
（2）①利用角平分线的判定定理证明OP平分∠AOB即可．
②利用全等三角形的性质即可解决问题．
（3）如图，作PN⊥OA于N．利用全等三角形的判定和性质即可解决问题．
解：（1）作PM⊥y轴于M，PN⊥OA于N．
∵△OBC是等腰直角三角形，OB=2，
∴BC=OBcos45°=，
∵∠PMN=∠PNA=∠PNO=∠MON=90°，
∴∠MPN=∠BPA=90°，四边形PMON是矩形，
∴∠MPB=∠NPA，
∵PB=PA，
∴△PMB≌△PNA（AAS），
∴PM=PN，BM=AN，
∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4，
∴OM=ON=2，
∴四边形PMON是正方形，
∴P（2，2）．
故答案为：，（2，2）．
（2）①由（1）可知：PM=PN，
∵PM⊥OB，PN⊥OA，
∴OP平分∠AOB，
∵∠BOC=45°，
∴OC平分∠AOB，
∴点P在射线OC上．
②由（1）可知：2OM=OB+OA=2+t，
∴OM=ON=，
∴P（，）．
故答案为：，．
（3）如图，作PN⊥OA于N．
由（1）可知：△PQC≌△PNA．△PQC≌△PBC，
∴QC=BC=AN=，
∵四边形PNOQ是正方形，
∴ON=OQ=PN=PQ=2+，
∴OA=2++=2+2，
∴t=2+2，
故答案为:2+
．
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【题目】为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别 | 成绩x分 | 频数（人数） |
第1组 | 25≤x＜30 | 4 |
第2组 | 30≤x＜35 | 8 |
第3组 | 35≤x＜40 | 16 |
第4组 | 40≤x＜45 | a |
第5组 | 45≤x＜50 | 10 |
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
（4）第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
