题目内容
【题目】如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.
求证:(1)ED=EC;
(2)∠ECD=∠EDC;
(3)射线OE与CD有什么关系?(直接写出结果)
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)OE是线段CD的垂直平分线.
【解析】分析:(1)由E为∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,根据角平分线的性质,可证得ED=EC,∠OED=∠OEC,继而可证得EC=ED;(2)根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=DE,再根据等边对等角证明即可;(3) 利用“HL”证明Rt△OCE和Rt△ODE全等,根据全等三角形对应边相等可得OC=OD,然后根据等腰三角形三线合一证明.
证明:(1)∵点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴∠DOE=∠COE,∠ODE=∠OCE=90°,OE=OE,∴△OED≌△OEC(AAS),∴EC=ED;
(2)∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴ED=EC,即△CDE为等腰三角形,
∴∠ECD=∠EDC;
(3)∵OC=OD,且DE=EC,∴OE是线段CD的垂直平分线.
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