Question

如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．
（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=

2

3

，tan∠AEC=

5

3

，求圆的直径．

Answer 1

分析：（1）根据圆周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判断CA是圆的切线；
（2）根据锐角三角函数的定义得到tan∠AEC=

5

3

，tan∠ABC=

2

3

，推出AC=

5

3

EC，BC=

3

2

AC，代入BC-EC=BE即可求出AC，进一步求出BC即可．

解答：（1）证明：∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．

（2）解：在Rt△AEC中，tan∠AEC=

5

3

，
∴

AC

EC

=

5

3

，
EC=

3

5

AC，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

2

3

，
∴

AC

BC

=

2

3

，
BC=

3

2

AC，
∵BC-EC=BE，BE=6，
∴

3

2

AC-

3

5

AC=6，
解得：AC=

20

3

，
∴BC=

3

2

×

20

3

=10，
答：圆的直径是10．

点评：本题主要考查对锐角三角函数的定义，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能证明是圆的切线是解此题的关键．