Question

已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点P，且P为BC中点，PD⊥AC于点D．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：AB=AC；
（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接OP、AP，根据题意得OP为△ABC的中位线，则OP∥AC，从而得出OP⊥PD；
（2）由OP∥AC，则∠C=∠BPO，从而得出∠C=∠B，则AB=AC；
（3）由∠CAB=120°，得∠B=30°，在Rt△ABP中，利用∠B的余弦值求得⊙O的直径．

解答：证明：连接OP，AP，
（1）∵P为BC中点，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴PD⊥OP，
∴PD是⊙O的切线；

（2）∵OP∥AC，
∴∠C=∠BPO，
∵OB=OP，
∴∠B=∠BPO，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（3）∵∠CAB=120°，∠C=∠B=30°，
在Rt△ABP中，∵BC=4，
∴BP=2，
∴cos∠B=

PB

AB

，
∴AB=

PB

cos30°

=

2

3 2

=

4

3

3

．

点评：本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理，三角函数的定义的综合运用，是重点内容，要熟练掌握．