Question

分别以?ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；
（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

解：（1）GF⊥EF，GF=EF。
（2）GF⊥EF，GF=EF成立。理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°
∴∠BAE+∠FDA+∠EAF+∠ADF+∠FDC=180°。∴∠EAF+∠CDF=45°。
∵∠CDF+∠GDF=45°，∴∠FDG=∠EAF。
∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。
∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠DAB+∠ADC=180°。
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴DG=CG=AE=BE，DF=AF，∠CDG=∠ADF=∠BAE=45°。
∴∠GDF=∠GDC+∠CDA+∠ADF=90°+∠CDA，
∠EAF=360°﹣∠BAE﹣∠DAF﹣∠BAD=270°﹣（180°﹣∠CDA）=90°+∠CDA。
∴∠FDG=∠EAF。
∵在△EAF和△GDF中，，∴△EAF≌△GDF（SAS）。
∴EF=FG，∠EFA=∠DFG，即∠GFD+∠GFA=∠EFA+∠GFA。
∴∠GFE=90°。∴GF⊥EF。
（2）根据等腰直角三角形的性质以及平行四边形的性质得出∠FDG=∠EAF，进而得出△EAF≌△GDF即可得出答案。