Question

已知AB、AC为⊙O的两条弦
（1）用直尺（没有刻度）和圆规作出弧BC的中点D；
（2）连接OD，则OD∥AC吗？若成立，请证明；若不成立，请添加一个适当的条件，使之成立，再证明．

Answer 1

解：（1）作法：①连接BC，
②分别以B、C点为圆形，OB为半径画弧，设两弧交于点M，
③连接OM，设OM与圆交于点D，
④则点D为所求作的点．


（2）不成立，添加：AB是直径，
证明：连接BC，OC，
∵点D为的中点，
∴∠COD=∠BOD，
∴∠BOC=2∠BOD，
∵∠BOC=2∠CAB，
∴∠BOD=∠CAB，
∴AC∥OD．

分析：（1）连接BC后，过O点做BC的垂线，则垂线与的交点即为D点，（2）不成立，添加：AB是直径，连接BC，OC，由点D为的中点，推出∠COD=∠BOD，可知∠BOC=2∠BOD，再由∠BOC=2∠CAB，通过等量代换可得∠BOD=∠CAB，即可推出∠AC∥OD．
点评：本题主要考查过线外一点作线段的中垂线，圆周角定理，平行线的判定等知识点，关键在于正确的作出图形，熟练的运用相关的性质定理推出∠BOC=2∠BOD，∠BOC=2∠CAB，继而推出∠BOD=∠CAB．