Question

（2012•香坊区三模）已知正方形ABCD的边长是4，对角线AC、BD交于点O，点E在线段AC上，且OE=

2

3

6

，则∠ABE的度数

15或75

度．

Answer 1

分析：根据正方形的性质首先得出AC=BD=

42+42

=4

2

，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，再利用锐角三角函数得出∠BE′O=30°，∠BEO=30°，即可得出∠ABE的度数．

解答：解：∵正方形ABCD的边长是4，对角线AC、BD交于点O，点E在线段AC上，且OE=

2

3

6

，
∴AC=BD=

42+42

=4

2

，AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，
∴AO=CO=BO=DO=2

2

，
∴tan∠BE′O=

BO

E′O

=

2 2

2 6 3

=

3

，tan∠BEO=

BO

EO

=

2 2

2 6 3

=

3

，
∴∠BE′O=30°，∠BEO=30°，
∴∠ABE的度数为：30°+45°=75°，或45°-30°=15°．
故答案为：15或75．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用，根据已知熟练利用正方形性质得出AC⊥BD，∠ABO=∠CBO=45°，AO=CO=BO=DO是解题关键．