题目内容
【题目】如图,矩形的对角线
,
相交于点
,
关于
的对称图形为
.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)连接,交
于点
,连接
,取
的中点
,连接
.
①根据题意补全图形;
②若=
,请用等式表示线段
、
、
之间的数量关系,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)①见解析,②=
,见解析
【解析】
(1)根据四边相等的四边形是菱形即可判断.
(2)①根据要求图形即可.
②线段、
、
之间的数量关系是:
.取
的中点
,连接
,
,
,首先证明四边形
是菱形,推出
是
的中位线,再根据勾股定理即可解决问题.
解:
(1)证明:∵ 四边形是矩形,
∴ 与
相等且互相平分,
∴ =
,
∵ 关于
的对称图形为
,
∴ =
,
=
,
∴ =
=
=
,
∴ 四边形是菱形.
(2)①如图.
②线段、
、
之间的数量关系是:
=
.
证明:取的中点
,连接
,
,
,
∵ 四边形是矩形∴
=
∵ =
,
∴ =
=
∵ =
,
∴ 是等边三角形,
∴ =
,
∵ 四边形是菱形,
∴ =
,
=
=
,
,
∴ 四边形是菱形,
∴ ,
∴ ,即
=
,
∵ 是
的中位线,
∴ ,
,
∴ =
=
,
∵ 是
的中点,
∴ =
,
∴ =
=
,
∴ =
,
∴ =
=
,
根据勾股定理得:=
,
即:=
,
∴ =
.

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