题目内容
【题目】定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”.
（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）
①等边三角形存在“和谐分割线”（ ）
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”（ ）
（2）如图2，Rt△ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，请用尺规画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度．
【答案】（1）①×，②√；（2）和谐分割线”的长度为4．
【解析】
（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；
（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可,并根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半和CD+BD=BC=6，求出CD的长度即可.
（1）①因为过等边三角形任意一顶点，分割的两个三角形都有一个角小于60°，即不可能是等边三角形，故等边三角形不存在“和谐分割线”，不正确，是假命题；
②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，
则这个三角形必存在“和谐分割线”，理由如下：
如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，作∠ABC的平分线交AC于D.
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠DBC=
,
∵∠ABC=2∠C
∴∠ABD=∠DBC=∠C，
∴BD=DC，△BDC为等腰三角形
∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C=∠ABC.
故BD为△ABC的和谐分割线.
正确，是真命题，
故答案为：×，√；
（2）如图2，作∠CAB的平分线AD，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∴DA＝DB，
∴△ADB是等腰三角形，且∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC
∴线段AD是△ABC的“和谐分割线”，
设CD＝x，则BD＝6﹣x，
∵
，
∴x＝2，
即AD＝BD＝6﹣2＝4；
即和谐分割线”的长度为4．
