Question

已知一条抛物线经过A（0，3），B（4，6）两点，对称轴是x=

5

3

．
（1）求这条抛物线的关系式；
（2）证明：这条抛物线与x轴的两个交点中，必存在点C，使得对x轴上任意点D都有AC+BC≤AD+BD．

Answer 1

分析：（1）先设出函数的解析式：y=ax²+bx+c，根据抛物线经过A（0，3），B（4，6）两点，用待定系数法求出函数的解析式；
（2）令y=0，得到方程，根据方程根与系数的关系求出抛物线与x轴的两个交点，再根据三角形任意两边之和大于第三边，来证明．

解答：（1）解：设所求抛物线的关系式为y=ax²+bx+c，
∵A（0，3），B（4，6），对称轴是直线x=

5

3

，
∴

c=3 16a+4b+c=6 - b 2a = 5 3

，
解得

a= 9 8 b=- 15 4 c=3

∴y=

9

8

x2-

15

4

x+3．

（2）证明：令y=0，得

9

8

x2-

15

4

x+3=0，
∴x1=

4

3

•x2=2，
∵A（0，3），取A点关于x轴的对称点E，
∴E（0，-3），
设直线BE的关系式为y=kx-3，把B（4，6）代入上式，得6=4k-3，
∴k=

9

4

，
∴y=

9

4

x-3，
由

9

4

x-3=0，
得x=

4

3

．
故C为(

4

3

，0)，C点与抛物线在x轴上的一个交点重合，
在x轴上任取一点D，在△BED中，BE＜BD+DE．
又∵BE=EC+BC，EC=AC，ED=AD，
∴AC+BC＜AD+BD，
若D与C重合，则AC+BC=AD+BD，
∴AC+BC≤AD+BD．

点评：（1）第一问主要考查用待定系数法求出函数的解析式，还运用了对称轴公式；
（2）此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，另外用到了三角形两边之和大于第三边这一定理．