Question

如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2：1），∠BAD=120°，对角线均在坐标轴上，抛物线y=

1

3

x²经过AD的中点M．
（1）填空：A点坐标为

 

，D点坐标为

 

；
（2）操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．
探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；
探究2：设AP=x，四边形OPDQ的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线y=

1

3

x²经过AD的中点M，设M的坐标为（x，

1

3

x²），由于∠BAD=120°，易知∠OAD=60°，因此

x

1 3 x2

=

3

1

，解得x=

3

，x=0（舍去）．因此M点的坐标为（

3

，1）．也就能得出A点的坐标为（0，2），D点的坐标为（2

3

，0）．

（2）探究1：如果四边形AFEP是平行四边形，那么首要满足的条件是AP∥FE，由于∠FEO=60°，因此∠APO必为60°，此时△AOP中，∠APO=∠OAP=60°，因此△AOP是等边三角形，此时∠POD=∠PDO=30°，因此OP=PD=AP，即P为直角三角形OAD斜边上的中点，由题意可知：此时P，M重合，那么AP=

1

2

AD，已知两菱形的位似比为2：1，因此EF=

1

2

AD，也就是EF=AP，由此可得出当α=60°时，AP∥=EF，即四边形APEF是平行四边形．
探究2：四边形OPDQ不是规则的四边形，因此可将其面积分成△OPD和△OQD两部分进行计算，这两个三角形中都以OD为底，关键是求出两三角形的高，过P作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，那么OR和QT就是两三角形的高．先求OR的长，在直角三角形APR中，用AP的长和∠OAP的度数求出AR，进而根据OA的长可求出OR．求QT的长，可通过相似三角形△ORP和△OQT来求出，据此可根据四边形OPDQ的面积计算方法得出S，x的函数关系式．

解答：解：（1）由题意得
A（0，2），D（2

3

，0）．

（2）探究1：当α=60°时，四边形AFEP是平行四边形．
理由如下：
∵两菱形的位似比为2﹕1，OA=2，OD=2

3

，菱形ABCD边长为4，∠BAO=60°
∴菱形EFGH的边长EF=

1

2

AD=2，∠FEO=60°
∵在旋转过程中EF的长和∠FEO的大小始终不变
∴当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2
△AOP为等边三角形，∠APO=∠AOP=60°
那么，∠APO=∠FEO=60°，则EF∥AP
又∵EF=AM=2
∴当旋转角度α=∠AOP=60°时，EF平行且等于AP
∴α=60°时，四边形AFEP为平行四边形．

探究2：过P点作PR⊥y轴于R，过Q作QT⊥x轴于T，
设TQ=y，
则：PR=AP•sin60°=

3

2

x，
OR=OA-AR=2-AP•cos60°=2-

1

2

x，
OT=OD-DT=2

3

-TQ•tan60°=2

3

-

3

y
∵它绕对称中心O旋转时∠POR=∠QOT
∴Rt△POR∽Rt△QOT
∴

PR

OR

=

QT

OT

∴

3 2 x

2- 1 2 x

=

y

2 3 - 3 y

，
化简得：y=

3x

x+2

∴S=S_△OPD+S_△ODQ=

1

2

×2

3

（2-

1

2

x）+

1

2

×2

3

×

3x

x+2

=2

3

-

3

2

x+

3 3 x

x+2

．
即S与x的函数关系式为：S=2

3

-

3

2

x+

3 3 x

x+2

．（0＜x＜4）

点评：本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、图形的旋转变换、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．综合性强．