题目内容
19、如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD=DE．（1）如果∠BAE=40°，那么∠C=°，∠B=°；
（2）如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，那么△ABE的周长=cm；
（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．
分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=AE，从而得出角之间的关系∠ABE=∠AEB=2∠C，代数求解即可；
（2）通过线段的等量代换即可求解；
（3）利用已知的相等的线段，等量代换即可．
（2）通过线段的等量代换即可求解；
（3）利用已知的相等的线段，等量代换即可．
解答：解：（1）∵点E在AC的垂直平分线上，
∴AE=EC．
∵BD=DE，AD⊥BC，
∴AB=AE．
∴∠ABE=∠AEB=2∠C=（180°-40°）÷2=140°÷2=70°，∠C=35°．
（2）∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm，
∴AB+BC=13-6=7，
∴△ABE的周长=AB+BC=7cm．
（3）AB+BD=DC．
证明：由（1）可知，AB=AE=AC，BD=DE，
∴AB+BD=EC+DE=DC
∴AE=EC．
∵BD=DE，AD⊥BC，
∴AB=AE．
∴∠ABE=∠AEB=2∠C=（180°-40°）÷2=140°÷2=70°，∠C=35°．
（2）∵△ABC的周长为13cm，AC=6cm，
∴AB+BC=13-6=7，
∴△ABE的周长=AB+BC=7cm．
（3）AB+BD=DC．
证明：由（1）可知，AB=AE=AC，BD=DE，
∴AB+BD=EC+DE=DC
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
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