Question

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2＝(1＋)²，善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b＝(m＋n)²（其中a、b、m、n均为整数），

则有a＋b＝m²＋2n²＋2mn．

∴a＝m²＋2n²，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a＋b的式子化为平方 式的方法．

请仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)²，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝_      ，b＝_      ；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，

填空：_  ＋_  ＝(_  ＋_  )²；

（3）若a＋4＝(m＋n)²，且a、m、n均为正整数，求a的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）m²+3n²，2mn；（2）4、2、1、1；（3）7或13.

【解析】

试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；

（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；

（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．

试题解析：（1）∵a+b=(m+n)²，

∴a+b=m²+3n²+2mn，

∴a=m²+3n²，b=2mn．

（2）设m=1，n=1，

∴a=m²+3n²=4，b=2mn=2．

（3）由题意，得：

a=m²+3n²，b=2mn

∵4=2mn，且m、n为正整数，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=2²+3×1²=7，或a=1²+3×2²=13．

考点: 二次根式的混合运算．