题目内容

(2013•宜昌模拟)抛物线y=ax2+bx+c中,b,c是非零常数,无论a为何值(0除外),其顶点M一定在直线y=kx+1上,这条直线和x轴,y轴分别交于点E,A,且OA=OE.
(1)求k的值;
(2)求证:这条抛物线经过点A;
(3)经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点,经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B,经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C,和直线y=kx+1交于点D,探索CD和BC的数量关系.
分析:(1)根据直线解析式可得点A的坐标为(0,1),则可得点E的坐标为(-1,0),代入直线解析式,可求出k的值.
(2)将顶点M的坐标代入直线解析式,再由无论a为何值(0除外),其顶点M一定在直线y=kx+1上,可得出b、c的值,继而可判断这条抛物线经过点A.
(3)根据抛物线与直线只有一个交点,求出m的值,继而得出B、C、D的坐标,求出BC、CD的长度,即可得出CD和BC的数量关系.
解答:解:(1)∵直线解析式为y=kx+b,
∴点A的坐标为(0,b),
又∵OA=OE
∴点E的坐标为(-b,0),
将点E的坐标代入直线解析式可得:0=-kb+b,
解得:k=1;

(2)将顶点M的坐标为(
-b
2a
4ac-b2
4a
)代入y=x+1化简得:(4c-4)a=b2-2b,
∵无论a为和何值,等式都成立,所以4c-4=0,b2-2b=0,
∴c=1,b=2,
即抛物线解析式为y=ax2+2x+1,
将点A(0,1)代入抛物线解析式可得:1=1,
∴抛物线经过点A.

(3)由题意:方程mx+1=ax2+2x+1的△=0,
即(2-m)2=0,
解得:m=2,
故可得点B,C,D的坐标分别是B(-
1
2a
a-1
a
),C(-
1
2a
4a-3
4a
),D(-
1
2a
2a-1
2a
),
则可得BC=CD=|
1
4a
|.
点评:本题考查了二次函数的综合题,涉及了待定系数法求函数解析式、抛物线与直线的交点问题,同学们注意培养自己解决综合题的能力,将所学知识融会贯通.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网