Question

如图①，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，OB=4，以点O为圆心，BO长为直径作⊙O交BC于点D、E。

（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由；
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转与⊙O相交于M、N两点（如图②），MN=2，求弧MN的长。

Answer 1

解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°或120°时与⊙O相切， 理由：若BA绕点B按顺时针方向旋转60°到BA'的位置，则∠A'B0=30°， 过O作OG⊥BA'，垂足为G， ∴OG=OB=2，∴BA'是⊙O的切线，同理，当BA绕点B按顺时针方向旋转120°到BA"的位置时，BA"也是⊙O的切线； （或：当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA'的位置时，BA'与⊙O相切， 设切点为G，连结OG，则OG⊥AB， ∵OG=OB，∴∠A'BO=30° ∴BA绕点B按顺时针方向旋转了60°， 同理可知，当BA绕点B按顺时针方向旋转到BA"的位置时，BA"与⊙O相切，BA绕点B按顺时针方向旋转了120°）
（2）∵MN=2，OM=ON=2 ∴MN2=OM2+ON2，∴∠MON=90° ∴弧MN的长为l=90π×2/180=π。