Question

31、先阅读下列材料，然后完成下列填空：
点A、B在数轴上分别表示实数 a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A点在原点，如图1|AB|=|OB|=|b|=|b-0|=|a-b|；
当A、B两点都不在原点时，
①如图2，A、B两点都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|
②如图3，A、B两点都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|
③如图4，A、B两点分别在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=a+（-b）=|a-b|
综上所述，
（1）上述材料用到的数学思想方法是

数形结合、分类讨论

（至少写出2个）
（2）数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．回答下列问题：
数轴上表示2和5的两点之间的距离是

3

；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是

3

；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是

5

；
（3）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是

|x+1|

；如果|AB|=2，那么x为

1或-3

．

Answer 1

分析：（1）从材料所提供的解题过程来总结所用的数学思想方法；
（2）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离．
（3）根据绝对值的性质，可得到一个一元一次不等式组，通过求解，就可得出x的取值范围．

解答：解：（1）根据“如图2、如图3、如图4”可知，该材料用到了“数形结合”是数学思想和“分类讨论”的数学思想；

（2）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2-5|=3，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-2-（-5）|=3．数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|1-（-4）|=5．

（3）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，那么x为1或-3．
故答案是：（1）数形结合、分类讨论；（2）3、3、5；（3）|x+1|、1或-3．

点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．