题目内容
【题目】已知：关于x的方程
，
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，两个边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为5．
【解析】
（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；
（2）分a为底边和a为腰两种情况，当a为底边时，b=c，可得方程的判别式△=0，可求出k值，解方程可求出b、c的值；当a为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k值，解方程可求出b、c的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．
（1）∵判别式△=[-(k+2)]-4×2k=k-4k+4=(k-2)≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根．
（2）当a=1为底边时，则b=c，
∴△=(k-2)=0，
解得：k=2，
∴方程为x2-4x+4=0，
解得：x1=x2=2，即b=c=2，
∵1、2、2可以构成三角形，
∴△ABC的周长为：1+2+2=5．
当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，
∴1-（k+2）+2k=0，
解得：k=1，
∴方程为x2-3x+2=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵1+1=2，
∴1、1、2不能构成三角形，
综上所述：△ABC的周长为5．
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