Question

推理证明：如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）分别求AB，OE的长；
（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为        .

Answer 1

（1）见解析（2）2，（3）

（1）证明：连接BD
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
∴OD∥BC
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．（4分）
（2）解：在Rt△CBD中CD=  ，∠ACB=30°，
∴BC="CD8" cos30° = =2，
∴AB=2．
在Rt△CDE中，CD= ，∠ACB=30°，
∴DE= CD=× =  ．
在Rt△ODE中，OE==
（3）………9分
（1）根据AB是直径即可求得∠ADB，再根据题意可求出OD⊥DE，即得出结论；
（2）根据三角函数的定义，即可求得AB，再在Rt△CDE中，根据直角三角形的性质，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可
（3）根据两圆的位置关系解答