Question

【题目】已知抛物线交x轴于A，B两点（A在B右边），A（3，0），B（1，0）交y轴于C点，C（0，3），连接AC；

（1）求抛物线的解析式；

（2）P为抛物线上的一点，作PE⊥CA于E点，且CE=3PE，求P点坐标；

（3）将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，过H作直线MH，NH，当MH⊥NH时，求MN恒过的定点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，﹣1）或（，）；（3）MN恒过的定点（2，1）

【解析】

（1）用待定系数解答便可；

（2）分两种情况：P点AC的上方，点P在AC的下方．过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，与PD交于点G，证明EF=3EG，设EG=m，用m的代数式表示P点的横纵坐标，再代入二次函数解析式，便可求得m的值，进而得P点的坐标；

（3）过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，先求出H点的坐标与新抛物线的解析式，设出M、N的坐标，得出两坐标的联系，表示出MN的解析式，再代入定点（2，1）的坐标进行验证便可得解．

（1）∵抛物线过A（3，0），B（1，0），

∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣1）（a≠0），

把c（0，3）代入，得3a=3，

∴a=1，

∴抛物线的解析式是y=（x﹣3）（x﹣1）=x2﹣4x+3，

即y=x2﹣4x+3；

（2）当P点在AC上方时，过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，如图1，

∵A（3，0），C（0，3），

∴OA=OC=3，

∴∠OAC=45°，

∵FG∥OA，

∴∠CEF=45°，

∴CF=EF=CE，

∵PE⊥CA，

∴∠PEG=45°，

∴PG=EG=PE，

∵CE=3PE，

∴EF=3FG，

设EF=3m，则PG=EG=m，FG=4m，

∴DG=OF=OC﹣CF=3﹣3m，

PD=PG+DG=3﹣2m，

∴P（4m，3﹣2m），

把P（4m，3﹣2m）代入y=x2﹣4x+3中得，

3﹣2m=16m2﹣16m+3，

∴m=，或m=0（舍去），

∴P（，）；

当P点AC下方时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，过E作EF⊥y轴于F，延长FE与PD交于点G，

∵A（3，0），C（0，3），

∴OA=OC=3，

∴∠OAC=45°，

∵FE∥OA，

∴∠CEF=45°，

∴CF=EF=CE，

∵PE⊥CA，

∴∠PEG=45°，

∴PG=EG=PE，

∵CE=3PE，

∴EF=3FG，

设EF=3m，则PG=EG=m，EG=2m，

∴DG=OF=OC﹣CF=3﹣3m，

PD=PG﹣DG=4m﹣3，

∴P（2m，3﹣4m），

把P（2m，3﹣4m）代入y=x2﹣4x+3中得，

3﹣4m=4m2﹣8m+3，

∴m=1，或m=0（舍去），

∴P（2，﹣1）；

综上，P点的坐标为（2，﹣1）或（，）；

（3）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线y=x2﹣4x+3的顶点为（2，﹣1），

∵将原抛物线向上平移1个单位抛物线的对称轴交x轴于H点，

∴H（2，0），

由题意知，点H是新抛物线的顶点，

∴新抛物线的解析式为y=（x﹣2）2，

设M（m，（m﹣2）2），N（n，（n﹣2）2），

过M作MK⊥x轴于点K，过点N作NL⊥x轴于点L，如图3，

则MK=（m﹣2）2，KH=2﹣m，HL=n﹣2，NL=（n﹣2）2，

∵MH⊥NH，

∴∠MHK+∠HMK=∠MHK+∠NHL=90°，

∴∠HMK=∠NHL，

∵∠MKH=∠HLN=90°，

∴△KHM∽△LNH，

∴，

，

∴，

∴，

设直线MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），则，

∴，

∴直线MN的解析式为：，

当x=2时，=（m-2）2﹣（m2﹣4m+3）

=m2﹣4m+4﹣m2+4m﹣3=1，

∴MN恒过的定点（2，1）．