题目内容

【题目】如图,等腰△ABC中,ABAC,点DAC上一动点,点EBD的延长线上,且ABAEAF平分∠CAEDEF

1)如图1,连CF,求证:∠ABE=∠ACF

2)如图2,当∠ABC60°时,求证:AF+EFFB

3)如图3,当∠ABC45°时,若BD平分∠ABC,求证:BD2EF

【答案】1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.

【解析】

1)先根据SAS证得△ACF≌△AEF,推出EACF,再根据等腰三角形性质推出EABF,即可得出结论;

2)在FB上截取BMCF,连接AM,证△ABM≌△ACF,推出EFFCBMAFAM,再证得△AMF是等边三角形,于是可得MFAF,即可证得结论;

3)连接CF,延长BACFN,根据ASABFC≌△BFN,推出CN2CF2EF,再根据ASA证明BAD≌△CAN,推出BDCN,即可得出答案.

证明:(1)∵AF平分∠CAE,∴∠EAF=∠CAF

ABACABAE,∴AEAC

在△ACF和△AEF中,

∴△ACF≌△AEFSAS),

∴∠E=∠ACF

ABAE,∴∠E=∠ABE

∴∠ABE=∠ACF

2)∵△ACF≌△AEF,∴EFCF,∠E=∠ACF=∠ABM

FB上截取BMCF,连接AM,如图2

在△ABM和△ACF中,

∴△ABM≌△ACFSAS),

AMAF,∠BAM=∠CAF

ABAC,∠ABC60°,

∴△ABC是等边三角形,

∴∠BAC60°,

∴∠MAF=∠MAC+CAF=∠MAC+BAM=∠BAC60°,

AMAF,∴△AMF为等边三角形,

AFAMMF

AF+EFBM+MFFB

AF+EFFB

3)连接CF,延长BACF交于点N,如图3

∵∠ABC45°,BD平分∠ABCABAC

∴∠ABF=∠CBF22.5°,∠ACB45°,∠BAC180°﹣45°﹣45°=90°,

由(1)的结论得:ACFABF22.5°

∴∠BFC180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°=90°,

∴∠BFN=∠BFC90°,

在△BFN和△BFC中,

∴△BFN≌△BFCASA),∴CFFN

由(2)题得:CFEF

CN2CF2EF

∵∠BAC90°,∴∠NAC=∠BAD90°,

在△BAD和△CAN中,

∴△BAD≌△CANASA),

BDCN2CF2EF

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