题目内容
【题目】如图,等腰△ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点,点E在BD的延长线上,且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于F.
(1)如图1,连CF,求证:∠ABE=∠ACF;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,求证:AF+EF=FB;
(3)如图3,当∠ABC=45°时,若BD平分∠ABC,求证:BD=2EF.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)先根据SAS证得△ACF≌△AEF,推出∠E=∠ACF,再根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABF,即可得出结论;
(2)在FB上截取BM=CF,连接AM,证△ABM≌△ACF,推出EF=FC=BM,AF=AM,再证得△AMF是等边三角形,于是可得MF=AF,即可证得结论;
(3)连接CF,延长BA、CF交N,根据ASA证△BFC≌△BFN,推出CN=2CF=2EF,再根据ASA证明△BAD≌△CAN,推出BD=CN,即可得出答案.
证明:(1)∵AF平分∠CAE,∴∠EAF=∠CAF,
∵AB=AC,AB=AE,∴AE=AC,
在△ACF和△AEF中,,
∴△ACF≌△AEF(SAS),
∴∠E=∠ACF,
∵AB=AE,∴∠E=∠ABE,
∴∠ABE=∠ACF.
(2)∵△ACF≌△AEF,∴EF=CF,∠E=∠ACF=∠ABM,
在FB上截取BM=CF,连接AM,如图2,
在△ABM和△ACF中,,
∴△ABM≌△ACF(SAS),
∴AM=AF,∠BAM=∠CAF,
∵AB=AC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=60°,
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°,
∵AM=AF,∴△AMF为等边三角形,
∴AF=AM=MF,
∴AF+EF=BM+MF=FB,
即AF+EF=FB.
(3)连接CF,延长BA、CF交于点N,如图3,
∵∠ABC=45°,BD平分∠ABC,AB=AC,
∴∠ABF=∠CBF=22.5°,∠ACB=45°,∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°,
由(1)的结论得:∠ACF=∠ABF=22.5°,
∴∠BFC=180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°=90°,
∴∠BFN=∠BFC=90°,
在△BFN和△BFC中,,
∴△BFN≌△BFC(ASA),∴CF=FN,
由(2)题得:CF=EF,
则CN=2CF=2EF,
∵∠BAC=90°,∴∠NAC=∠BAD=90°,
在△BAD和△CAN中,,
∴△BAD≌△CAN(ASA),
∴BD=CN=2CF=2EF.
